Nature最新封面：两大数学难题被AI突破

现在，AI不仅能参与数学研究，甚至还快人一步，开始帮助人类提出数学猜想了。

这只由DeepMind与顶级数学家合作研发的AI，登上了最新一期Nature封面。

有多顶级呢？这些数学家全部都来自牛津大学、悉尼大学，其中还不乏英国皇家学会史上最年轻的院士。

就是这位，曾在两年内斩获谢瓦莱奖、克雷研究奖等4项数学大奖的Geordie Williamson：

对于这项研究，DeepMind官方自称其“首次证明了人工智能可以走在纯数学研究的前沿”。

为什么这次的研究被Nature评价为“AI与人类合作”甚至是“AI指引人类直觉”，与“人类使用AI工具”有何不同？

首先我们要知道，证伪一个猜想相对简单，只需要找出一个反例即可。

但从零开始提出一个全新猜想这种工作，AI还是首次参与进来。

猜想本身是推动数学发展的一大动力，世界近代三大数学难题都是猜想：费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。

此前提出猜想主要靠少数科学家的洞察力和个人经验积累，比如历史上两位天才，物理学家爱因斯坦和数学家拉马努金。

但随着科学不断发展，需要研究的问题复杂程度逐渐超出人类能力极限。

有的问题涉及的数据规模，是一个人一辈子也研究不完的。

有的研究对象复杂程度之高，甚至可以有几千个维度，超出了一般人类大脑从直觉上可以理解的能力。

除此之外，这次研究也帮忙搞了搞数学领域内存在了40年的陈年老题，得到了不小进展。

参与这次研究的数学家之一，牛津大学的Marc Lackenby说：

我很震惊机器学习在直觉指引上的作用这么大，也没想到我过去先入为主的一些观念被AI给颠覆了。

没有参与这次研究的另一位数学家，以色列特拉维夫大学的Adam Zsolt Wagner也很羡慕：

如果没有这个工具，我们数学工作者可能会花上数周至数月的时间，最终发现证明的公式或定理是错误的 。

那么，AI这次到底帮助数学家们解决了哪些问题？下面来一探究竟。

AI发现代数和几何间的联系

第一个问题关于纽结理论（Knot Theory），是拓扑学的一个分支。

用数学语言来讲，纽结是一个圆在三维实欧氏空间中的嵌入。

呃……还是看图吧。

假设你有一根绳子，打上一个结。

再把两端粘起来，这就是一个纽结 （Knot）了。

结可以多打几个，比如这样：

或者，这样？

数学家倒是不关心纽结到底是用鞋带还是面包做的，他们最关心一件事：

一个复杂的纽结能不能被还原成简单的纽结，如果能就说明这两种纽结在拓扑上是等价的。

以此为依据给纽结分类，才能理解它们的性质，进一步与实际应用问题建立联系。

纽结理论在现实世界中，可以用来确定一个化学分子是否有手性，还有希望靠拓扑量子计算模型构建出量子计算机。

数学家们从几何特征和代数特征两个角度去研究纽结，分别定义了纽结的几个属性。

但问题难就难在纽结的种类太多，自19世纪以来人类已经收集了无数种，如果用上计算机自动生成，现在每天都能生成几十亿种。

普通人难以从海量数据中发现隐藏的模式，AI这次却做到了。

AI的贡献是发现了纽结的几何特征和代数特征之间存在直接的关联。

数学家由此发现提出猜想，再给出严格证明，为纽结问题研究开辟了新的方向。

40年难题终于有望得证

除了解决了扭结问题之外，另一个则与表示论 （Representation theory）相关。

表示论是数学中抽象代数的一支，表示的所有构件都不可约。

而这种不可约表示（Irreducible representations）的结构主要受Kazhdan-Lusztig（KL）多项式的影响。

组合不变性猜想（Combinatorial Invariance Conjecture）就是与KL多项式相关的一个重要猜想。

它指出，对称群S_N中两个元素的KL多项式可以从它们的无标记Bruhat区间，即一个有向图中计算出来：

△Bruhat区间及其KL多项式的例子

这一猜想已经存在了40年，却只有部分进展。

两位科学家将这个猜想作为初始假设，通过AI中的监督学习模型从Bruhat区间预测KL多项式。

通过计算与确定的归因技术（Attribution Techniques）相关的代表性子图，并分析这些图与原始图的边缘分布，他们发现了进一步的结构证据：

如下图，KL多项式可以通过一个公式直接从超立方体和S_N-1部分计算出来。

因此，科学家们提出猜想：

一个无标记的Bruhat区间的KL多项式可以用上述的方法，并通过任何超立方体分解（hypercube decomposition）进行计算。

虽然还没有进行严格证明，但目前他们已能在300万个测试例子上验证这一方法。

如果验证成立，那么对称群（Symmetric Group）的组合不变性猜想问题将得到解决。

AI引导数学家直觉

那么整体来说，数学家们到底是怎么与AI合作解决问题的？

或者说AI到底是如何帮助引导数学家的直觉的呢？

简单来说，这篇论文中提出了一种框架，用来快速验证对两个量之间关系的猜想（直觉）是否值得继续探索，如果是的话，则指导如何进一步研究。

△框架流程图

具体来说，先通过监督学习来验证数学对象中的某一结构/模式的假设是存在的。

然后，再使用归因技术来深入理解这些模式。

在这个过程中，AI能够以人类无法比拟的规模输出数据，并从数据中挑选出人类无法检测到的模式。

这正是AI和人类合作与传统的数学研究方法的不同。

其实，数学在很大程度上是一门对关系和模式进行研究的学科。

比如我们小学时就学过的勾股定理，如果将平面上的三角形扩展到八维空间中的900边多面体，还能轻易找到a²+b²=c²的等价形式吗？

答案是：数学家们可以找到，但他们能做的工作量有限。

因为一个人必须评估许多例子，然后才能确定观察到的公式是普遍通用而非偶然。

当然，这篇论文也并不打算创造一个“通用的纯数学助手”，而是让AI去帮助数学家更有效地发现和识别数学中的新模式。

论文的作者之一，牛津大学的Juhász教授表示：

任何可以生成足够大数据集的数学领域都可以使用这种方法，而生物、经济学等领域也将从其中收益。

除了Nature论文外，研究人员还在Arxiv上发布了数学角度解释两个研究的论文，将来会投到合适的数学期刊。

另外还为两个问题提供了Colab代码，让你体验一下与AI合作搞科研是什么感觉。

论文链接：https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1https://arxiv.org/abs/2111.15323https://arxiv.org/abs/2111.15161

Colab地址：https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/knot_theory.ipynbhttps://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/representation_theory.ipynb

参考链接：

[1]https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways

[2]https://techcrunch.com/2021/12/01/ai-does-pure-mathematics-and-protein-hallucination/

[3]https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1