理解零知识证明算法之Zk-stark——Arithmetization

前言

本系列的第一篇文章（https://www.8btc.com/article/512859），以Zk-snark做对照，分别从概念和算法流程上，做了概括性的介绍。建议在阅读本篇文章之前，先阅读下第一篇文章的内容。本篇文章，让我们由浅入深，一起踏上探索Zk-stark算法奥秘的旅途。

回顾

在第一篇的文章中讲到，Zk-stark算法大体可以分为两个部分：Arithmetization 和 Low Degree Testing。本篇我们先详细介绍算法的第一阶段Arithmetization。

Arithmetization的整体步骤如下图所示：

那什么是Arithmetization？具体过程又是什么呢？带着这些疑问，让我们仔细的品味文章后面的内容。

首先，什么是Arithmetization？

Arithmetization就是把CI statement转化成正式的Algebraic language的过程，此步骤有两个目的：第一，把CI statement以简洁清晰的方式呈现出来；第二，把CI statement嵌入到代数域，为后面多项式的转换做铺垫。Arithmetization representation主要由两部分组成：第一，执行轨迹（图中橙色部分）；第二，多项式约束（图中灰色部分）。执行轨迹是一个表，表的每一行代表一个单步的运算；多项式约束的构造是和执行轨迹相辅相成的，即当前仅当执行轨迹是正确的，多项式约束会满足执行轨迹的每一行计算。最后把执行轨迹和多项式约束结合组成一个确定的多项式，然后对多项式进行LDT验证。至此，验证CI statement的问题转换成了验证确定性多项式LDT的问题。

Arithmetization

知道了Arithmetization的整体流程，接下来，我们讨论下具体的过程。为了便于理解，我们用一个简单的例子，来贯穿整个Arithmetization的过程。

每个人都去过超市，一般超市的收据的内容如下：

现在，好莱坞人气演员Bob声称：”the total sum we should pay at the supermarket was computed correctly”。那怎么验证呢？其实很简单，这时另一个气人演员Alice只要对着收据，每一项累加求和就可以完成验证。那么，这只是一个很简单的例子，事实上，Alice只需要5步，就可以完成验证过程。试想这样一个场景：毕竟Bob很有钱，在超市买了1000000样东西，同样，他又声称：”the total sum we should pay at the supermarket was computed correctly”，这时候，Alice真的生气了，这怎么验证，按照之前的办法，得大约要算1000000步，闹呢？谁爱干谁干。Bob心里也心疼Alice，毕竟那么多年了。心想，有没有什么牛掰的办法能让Alice用很少的步骤，就能确信我说的是对的呢？于是，Bob开动了最强大脑模式。

下面，让我们用上面简单的例子，跟随Bob去寻找这个牛掰的办法。

Bob心想，你不就是验证最终的总和对不对么？那我就把总和的计算过程列出来，我保证每次的累加都对，那么我最终的结果一定也是对的。于是Bob在收据上新增了一列，用来保存计算总和过程中的中间值（图中橙棕色部分标注），这就是执行轨迹（图1中的橙色部分）。新增的一列值需要满足，初始化的值为0（图2中黄色部分）、最终的值和要付的总和相等（图2中黄色部分）、中间的每一个值都要等于上一个值加上上一行物品的单价（图2中红线部分），这构成了多项式约束（图1灰色部分，图2左下角部分）。

从图2可以看出：

• 多项式约束总共有3个，两个是边界约束（多项式索引1&3），一个是循环约束（多项式索引2）；
• 多项式的大小和执行轨迹的答案小没有关系，即表格的长度即使扩大到1000000，最终的多项式约束仍是这三个，唯一变化的是变量x的取值范围而已。

在这里，借用V神的话来描述一下Zk-stark：Zk-Stark不是一个确定性的算法，它是一大类密码和数学结构，对于不同的应用，具有不同的最优设置。可以理解为，对于不同的问题，具有不同的算术化的方案（在本例中，是加一列值，在其他案例中就不一定适用了），因此要做到具体问题具体分析。但是有一个共同目标就是，无论是什么问题，得到的执行轨迹最好是用一个LOOP就可以表示，这样得到的多项式约束也就最为简洁。多项式约束的个数和形式直接影响到了proof的大小和Zk-stark算法的性能，因此，寻找一个最优的设置对于Zk-stark算法显得尤为重要。

回归到主题，现在Bob已经得到了多项式约束和执行轨迹，那么如何把它们转换成一个确定的多项式呢？请看下图：（蓝色箭头代表主流程，红色箭头代表分支）

Bob首先把关注点切到执行轨迹，可以看到执行轨迹有2列，一列是单项价格，一列是价格总和，我们分别对两列的元素进行拉格朗日插值，得到两个函数 f(x), w(x)，0≤x≤5。分别对两个函数进行域扩展，得到了在更多的点上的评估，即f(x)，w(x) ，0≤x≤10000（从多项式插值，到域扩展，这其实就是Reed-Solomen的编码过程，它可以实现，原始数据哪怕有一处差异，得到的码字会大不相同；主要目的用于防止证明者作恶，加入证明者作恶，会使得验证者很容易发现）。

然后，Bob把f(x)，w(x) 和多项式约束等式结合，得到一组确切的多项式约束(图中红色圈2所示)，以循环约束多项式为例：

1 ≤ x ≤ 5 w(x) – f(x -1) – w(x -1) = 0 (1)

令Q(x) = w(x) – f(x-1) – w(x-1)，则有Q(1) = 0、Q(2) = 0、Q(3) = 0、Q(4) = 0、Q(5) = 0。

根据已知事实，度为d的多项式H(x)在x = n处为0，则存在一个度为d-1的多项式H`(x)，满足 d(H`(x)) = d(H(x)) – 1 && H(x) = H`(x) * (x – n)

因此对于Q(x)，度为5，存在一个多项式Ψ(x)，度为0，即常量，满足Q(x) = Ψ(x) * (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)，令目标多项式T(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)，度为5，则有：

Q(x) = Ψ(x) * T(x) (2)

验证者Alice从0≤x≤10000随机选择一点a，发送给证明者Bob，要求Bob返回相应的值，以公式(2)为例，Bob需要返回w(a)、w(a-1)、f(a-1)、Ψ(a)，然后Alice判断等式是否成立，即：

w(a) – f(a – 1) – w(a – 1) = Ψ(a) * T(a) (3)

如果等式成立，则Alice大概率相信执行轨迹是正确的，那么原始计算成立。假如验证者Bob作恶，讲表格中的4.98改成5.98把，那么Q(1) = w(1) – w(0) – f(0) = 5.98 – 0 – 4.98 = 1，不等于0。在这种情况下，观察公式(2)，等式右边为Q(x)，度为5，x = 1不是零点；等式右侧Ψ(x) * T(x) ，令G(x) = Ψ(x) * T(x)，度为5，因为T(x)在x = 1处是零点，所以G(x)在x=1处也是0点，因此，等式两边实际上是度相等的不同多项式，其交点最多为5个，因此在0≤x≤10000范围内，只有5个值相等，9995值是不等的，因此随机的从0≤x≤10000中选择一个值，验证不通过的概率是99.95%，如果域扩展的范围更大，则验证不通过的概率将会更接近于1。按照同样的逻辑，分别处理边界约束多项式，得到的结果如图所示（图中红色圈3所示）。

下面，我们讲讨论如何增加零知识属性。

对于证明者Bob来讲，执行轨迹是不希望被验证者Alice看到的，因为它会包含一些重要的信息，因此，限定验证者Alice只能从6≤x≤10000范围内随机选择一个值，进行验证，当然这种限定，双方都是同意的。

存在这样一类问题。当验证者Alice收到证明者Bob反馈的值时，如何保证这些值是合法的，确实是通过多项式的形式计算，并且这些多项式是小于某个度的，而不是证明者Bob仅仅为了验证通过，而生成的随机值？比如如何确保w(a)、w(a-1)、f(a-1)、Ψ(a)是多项式w(x)、f(x)、Ψ(x)分别在x = a && x = a – 1上的取值呢，且多项式w(x)、f(x)、Ψ(x)的度小于某个固定值的呢？这些问题将在下一篇文章中给出答案，在此之前，不如先讨论一下，为何多项式的度小于某个固定值就能证明原始执行轨迹式正确的呢？

从以上的例子中，可以看出，当且仅当执行轨迹是正确的时候，Q(x)才会在x 取值为 1、2、3、4、5时，等于0。那么Q(x)才可以被目标多项式T(x)整除，即：Ψ(x) = Q(x) / T(x) ，d(Ψ(x)) = d(Q(x)) – 5。

从图3可以看出，需要验证的多项式的个数时5个(红色圈4所示)，如果对每一个多项式都进行LDT，那么消耗是很巨大的，因此，可以通过将这些多项式进行线性组合(红色圈5所示)，当且仅当每个多项式都满足小于某个度时，其线性组合后的多项式也是小于某个度的，这个条件时充分的，具体的细节见后续的系列章节。

欢迎批评指正，谢谢！！

附录

1. 官方介绍文档：https://medium.com/starkware/arithmetization-i-15c046390862

2. 官方介绍文档：https://medium.com/starkware/arithmetization-ii-403c3b3f4355